Integral Numerik Metode Trapezoid dan Metode Simpson


Integral numerik juga dinamakan quadrature telah menjadi perhatian para ilmuwan sejak abad 18 hingga 19. Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah yaitu bagaimana mengevaluasi integral suatu fungsi:

Dipandang dari sudut persamaan diferensial maka mencari nilai integral I adalah sama dengan menyelesaikan persamaan diferensial:

Dengan syarat batas f(x)=0

Newton-Cotes Formula

Metode yang umum digunakan dalam menghitung integral numerik adalah Newton-Cotes Formula, dimana batas antara a dan b dibagi ke dalam bagian yang lebih kecil (step-size h) sedemikian rupa sehingga notasi integral dapat diganti ,emjadi notasi penjumlahan (sigma), yaitu:

Untuk metode closed loop

Untuk metode open loop

Fungsi f(x) adalah fungsi yang diintegralkan, namun untuk memperoleh rumus integral numerik dapat diganti dengan fungsi interpolasi seperti deret Taylor, Newton forward, Lagrange, dll.

Ada dua formula dasar yang populer pada formula Newton-Cotes yaitu trapezoidal rule dan Simpson-rule.

Trapezoidal rule

Metode trapezoid ini dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-1 sebagai f(x) yaitu:

Dengan demikian :

Dimana R adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan rumus integral trapezoid yaitu:

Simpson rule

Metode Simpson dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-2 sebagai f(x) yaitu sebagai berikut:

Dimana h=(b-a)/2, x0 = a, x1 = a+h, x2 = a+2h. Dengan demikian

Dimana Rs adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan rumus integral Simpson yaitu:

Sekarang kita coba kedua metode di atas untuk menyelesaikan persoalan berikut ini:

Hitung

menggunakan metode trapezoid dan simpson 1/3 dengan jumlah pias N=8!

Sebelum menghitung dengan metode numerik, sebaiknya kita hitung dahulu menggunakan metode analitik kemudian hasil akhirnya kita bandingkan.

Misal u = 1+x sehingga

Kita substitusikan menjadi

Solusi metode trapezoid

Hasil integral di atas didekati dengan metode trapezoid dengan persamaan:

Dengan N=8, sehingga nilai h=0,125

Kita lakukan perhitungan manual menggunakan persaman (1/1+x) dx diatas. Hasilnya  seperti berikut:

i

xi

F(xi)

0

0

1

1

0,125

0,888

2

0,25

0,8

3

0,375

0,7272

4

0,5

0,666

5

0,625

0,6153

6

0,75

0,571

7

0,875

0,533

8

1

0,5

Hasil yang diberikan metode trapezoid memberikan nilai 0,6938.

Solusi metode Simpson 1/3

Solusi ini menggunakan persamaan

Dengan tabel yang sama kita dapatkan

Hasil yang didapatkan melalui metode simpson 1/3 adalah 0,69255.

Setelah melakukan perhitungan manual, kita buat program pada MATLAB untuk menghitung berapa nilai dari hasil inetgral fungsi yang diberikan dengan kedua metode tersebut.

Berikut listing programnya:

clear;clc;

a=0;

b=1;

x=0;

h=0.125;

n=(b-a)/h

n=round(n)

for i=1:(n+1)

f(i)=1/(1+x);

x=x+h;

end

f

ff=f(2:n)

sum=0;

for i=1:(n-1);

sum=sum+ff(i);

end

sum

trap=(h/2)*(f(1)+2*sum+f(n+1))

sigma=0;

for i=1:(n-1)

if (rem(i,2)~=0)

sigma=sigma+4*ff(i);

else

sigma=sigma+2*ff(i);

end

end

simp=(h/3)*(f(1)+sigma+f(n+1))

Kedua metode di atas dapat diletakkan pada satu listing program saja. Kode trap=(h/2)*(f(1)+2*sum+f(n+1))digunakan untuk metode trapezoid dan kode simp=(h/3)*(f(1)+sigma+f(n+1))

untuk metode simpson 1/3. Jika program di atas kita run maka akan memberikan hasil berikut ini:

n =

8

n =

8

f =

1.0000    0.8889    0.8000    0.7273    0.6667    0.6154    0.5714    0.5333    0.5000

ff =

0.8889    0.8000    0.7273    0.6667    0.6154    0.5714    0.5333

sum =

4.8030

trap =

0.6941

simp =

0.6932

Tampak nilai trap = 0,6941 dan simp = 0,6932 masing-masing nilai metode trapezoid dan metode simpson yang hampir sama dengan perhitungan manual.

21 thoughts on “Integral Numerik Metode Trapezoid dan Metode Simpson

  1. numpang tanya, apa metode trapezoid dan metode simpson jawabannya harus nyaris sama atau sama, sy ngerjain soal dengan metode trapezoid dan simpson kok jawabannya beda yaa,, padahal soal awalnya sama…. terima kasih

    1. Ini hanya pendekatan secara numerik. Masing-masing dari metode tersebut punya kelebihan dan kekurangan masing-masing. Kalau hasilnya berbeda wajar saja. Coba dicek lagi saja mas perhitungannya barangkali ada yang salah. Barangkali loh ya, jadi saya tidak menghakimi hehehe. Harusnya hasil akhirnya hampir sama.

  2. aplikasi metode numerik telah dibuat oleh mahasiswa stt hamzanwadi, tapi untuk integral numerik belum selesai … mohon bantuan untuk perbaikan

  3. Ada tdk program matlab utk mencari luas daerah yg dibatasi 2 fungsi (polinomial dg polinomial, polinomial dg garis) dg integral?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s