Deret Fourier (Fourier series)


Masalah yang menyangkut vibrasi atau osilasi sering terjadi pada fisika dan teknik. Banyak contoh yang sering kita temui pada kehidupan sehari-hari seperti getaran garpu tala, bandul, massa yang digantungkan pada  pegas,gelombang air, gelombang suara, arus listrik AC, dan sebagainya. Akan lebih banyak contoh yang akan kita ketahui jika kita belajar fisika lebih dalam lagi seperti konduksi panas, medan listrik dan magnet, yang tak cukup hanya diselesaikan dengan metode dasar tetapi membutuhkan metode yang lebih tinggi tingkatannya serta melibatkan fungsi sinus dan cosinus untuk mendeskripsikan gerak harmonic sederhana dan gelombang.  Kita dapat menggunakan deret pangkat untuk memperkirakan hasil dari fungsi yang rumit. Pada beberapa kasus, ada yang disebut dengan deret Fourier (Fourier Series) yang suku-sukunya terdiri dari sinus dan cosinus.

Secara umum deret Fourier dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini

fungsi umum fourier series

Dengan masing-masing koefisien adalah

koefisien fourier series

Kita langsung saja ke contohnya. Kita ingin menjabarkan sebuah fungsi periodik dalam bentuk sinus dan cosinus. Untuk memudahkan perhitungan kita mulai dengan fungsi yang memiliki periode 2π seperti di bawah ini

fungsi priodik 2 phi

Pertama kita cari nilai dari a0 terlebih dahulu

mencari nilai a0Setelah a0 diketahui kita cari nilai dari an

an

Untuk sembarang n bilangan bulat

an1

Nilai bn dapat kita cari dengan perhitungan seperti dibawah ini

bn

Nilai dari

bn1

Untuk n bilangan genap n= 2, 4, 6, … kita dapatkan

cos nphitetapi jika n bilangan ganjil n=1, 3, 5, … kita akan mendapatkan

bn3

Sehingga

bn5

Atau kita juga dapat menuliskan dengan bentuk seperti di bawah inibn7

Untuk n= 1, 2, 3, 4, 5, …

Jadi jelas bahwa bn hanya memiliki nilai tidak nol ketika n sama dengan bilangan ganjil. Dari perhitungan di atas kita dapat menuliskan

fungsi

Dengan n= 1, 3, 5, …..

deret fourier

Lalu apa artinya deretan fungsi di atas? Kita simulasikan fungsi di atas. Tak perlu dengan program yang susah, cukup dengan excel saja sudah dapat dilakukan. Kita lihat gambar berikut ini

n1

n3

n5

n7

Masih belum mengerti artinya? Jadi fungsi periodik yang ada pada awal pembahasan tadi dapat diuraikan kedalam bentuk sinus dan cosinus. Terlihat bahwa semakin besar n maka tampak gerigi pada puncak gelombang. Jika nilai n semakin besar makan gerigi tersebut akan tampak sangat halus sehingga gammbar akan membentuk gelombang periodik seperti pada awal pembahasan kita ini. Sudah dulu ya bagi ilmunya kali ini. Kalau ada yang salah mohon koreksinya 🙂

3 thoughts on “Deret Fourier (Fourier series)

  1. Mas, melukis deret Fouriernya pake software apa? Matalab atau Mathematica? Terimakasih, untuk variasi mengajar,.Terimakasih

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s