Regresi Linear

Percobaan di laboratorium untuk menguji atau menyimulasikan fenomena alam sudah sering dilakukan pleh para ilmuwan fisika, yang pada umumnya menghasilkan data yang akan dianalisis terutama untuk melihat apakah sesuai dengan  kerangka teoritis telah diketahui atau yang sedang diuji coba.

Andaikan hasil percobaan di laboratorium  memberikan N buah pasangan data (xi,yi), dimana secara teoritis hubungan x dan y diberikan dalam bentuk suatu fungsi yang Y(x;{ai}), dimana {ai} adalah himpunan M buah parameter yang menentukan bentuk fungsi. Tugas utama kita adalah adalah mencocokkan kurva. Dengan kata lain, apakah setiap pasangan data (xi, yi) terletak pada kurva Y(x;{ai}). Cara lainnya adalah mencari parameter {ai} sedemikian rupa sehingga titik (xi, yi) berada pada atau sangat dekat dengan kurva yang dibentuk dari fungsi Y(x; {ai}).

Kurva terbaik adalah kurva yang memiliki kesalahan pencocokan (error) paling kecil. Secara kuantitatif besarnya penyimpangan  pencocokan kurva dapat dihitung, yaitu dalam bentuk persamaan:

Besarnya error dapat dijadikan sebagai kriteria dalam pemilihan kurva. Dengan kata lain bagaimana kita memilih parameter {ai} sehingga error menjadi cukup kecil. Salah satu teknik yang biasa dilakukan adalah dengan memilih {ai} sedemikian rupa sehingga jumlah “kuadrat dari error” menjadi minimum, atau:

Metode ini disebut dengan Leat Square Method.

Pada praktikum ini akan dibahas mengenai analisis regresi linear. Secara umum persamaan regresi linear adalah:

Dengan

Dan

Andaikan dalam sebuah percobaan didapatkan data (xi, yi) seperti pada tabel dibawah ini:

No	xi	yi	xi2	xiyi
1	1	3	1	3
2	3	2	9	6
3	5	6	25	30
4	7	5	49	35
5	10	8	100	80
6	12	7	144	84
7	13	10	169	130
8	16	8	256	128
9	18	12	324	216
10	20	10	400	200
jumlah	105	71	1477	912

Jika nilai (xi, yi) dibentuk sebiuah grafik maka hasilnya akan seperti berikut:

Pada gambar di atas tampak bahwa titik-titik data tidak membentuk garis linear. Untuk membentuk garis linear kita dapat menggunakan cara yang telah dijelaskan di atas. Pertama kita harus menentukan koefisien a dan b terlebih dahulu.

Jika koefisien tersebut disubstitusikan kedalam persamaan garis regresi, maka akan didapatkan persamaan seperti berikut:

Setelah melakukan analisis secara manual maka selanjutnya data tersebut dianalisis dengan MATLAB untuk mencocokkan hasil yang telah didapatkan. Berikut ini listing program untuk menemukan koefisien serta grafik data di atas:

clear;clc;

x=[1 3 5 7 10 12 13 16 18 20];

y=[3 2 6 5 8 7 10 8 12 10];

square=x*x’;

d=x*y’;

sx=sum(x);

sy=sum(y);

N=10;

a=(N*d-sx*sy)/(N*square-sx^2);

b=(square*sy-sx*d)/(N*square-sx^2);

a

b

xx=0:25;

yy=a*xx+b;

plot(x,y,’o’,xx,yy)

axis([0 25 0 15])

title(‘data pengamatan’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

variabel square merupakan penampung dari hasil dari , d adalah , sx adalah jumlah dari x, dan sy adalah jumlah y. Hasil yang ditampilkan MATLAB seperti berikut ini:

a =

0.4446

b =

2.4318

Dan grafik garis regresi yang didapatkan seperti dibawah ini

Tampak bahwa hasil dari yang didapatkan dari analisis manual dan MATLAB persis sama